答案合集

P1:

已知数列：

$$a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$$

我们尝试寻找一个上界 $M$，使得：

$$M=\sqrt{6+M}$$

两边平方：

$$M^2=6+M$$

移项并因式分解：

$$(M-3)(M+2)=0$$

所以：

$$M=3\text{或}M=-2$$

因为 $M=\sqrt{6+M}\ge 0$，所以舍去 $M=-2$，选择：

$$\boxed{M=3}$$

我们想证明：

$$a_n<3,\forall n\ge 1$$

当 $n=1$ 时：

$$a_1=1<3$$

成立。

假设当 $n=k$ 时，$a_k<3$ 成立。

由递推关系：

$$a_{k+1}=\sqrt{6+a_k}$$

因为 $a_k<3$，所以：

$$6+a_k<9$$

两边开平方：

$$a_{k+1}<\sqrt{9}=3$$

因此，当 $n=k+1$ 时也成立。

由数学归纳法可知：

$$\boxed{a_n<3,\forall n\ge 1}$$

所以数列 $\{a_n\}$ 有上界 3。

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P2