一.递推数列

递推数列长这样

$$a_{n+1}=f(a_n)$$

找上界 尝试解方程（不动点法）：$x=f(x)$

eg:证明他收敛

$$a_1=\sqrt{2},a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots ,a_n=\underset{n\text{重}}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}},\cdots$$

正常方法：

容易得到 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 此时我们假设

$$a_n<m$$ $$a_n+2<m+2$$ $$\sqrt{a_n+2}<\sqrt{m+2}$$ $$a_{n+1}<\sqrt{m+2}$$

因此

数列$a_n$有上界，且小于$\sqrt{m+2}$

**易证 $a_n$ 单调递增 故$a_n$ 收敛

虽然能做出来题 但是只能证明出来有上界 无法得到上界的值

另外我们其实还可以通过不动点法 ：

$x=\sqrt{2+x}$

两边平方：

$x^2=2+x$

移项：

$(x-2)(x+1)=0$

得到：

$x=2\text{或}x=-1$ 因为各项都是正数 故猜测上界为求解出来的2

① 先验证第一项：

$a_1=\sqrt{2}<2$

成立。

② 假设第 (n) 项满足：

$a_n<2$

那么：

$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$

利用假设：

$2+a_n<2+2=4$

两边开平方：

$a_{n+1}<\sqrt{4}=2$

因此：

$\boxed{a_n<2,\forall n\ge 1}$

这就证明了数列有上界！

P1：

$a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$ 证明$a_n$ 有上界 答案合集 > P1｜答案看这里呀